می باشد. انشاال قسمت شعاعی بماند برای مکانیک کوانتومی 2.

تکانه زاویه ای اهداف فصل: در این فصل سعی میکنیم تا مساله شرودینگر را در حالت سه بعدی مورد بررسی قرار دهیم. مهمترین نکته فصل این است که ما در انجا فقط پتانسیل های شعاعی را در نظر می گیریم. یعنی پتانسیل هایی که به فاصله وابسته هستند. مثل پتانسیل کولنی. دقت کنید شما در این فصل می خواهیم کار با گونه جدید از پتانسیل را یاد بگیرید. این گونه جدید پتانسیل بسیار زیاد در طبیعت وجود دارد. منظور پتانسیل هایی است که فقط به فاصله بستگی دارد. تمام برهم کنش های کولنی داخل اتمها مساله نوسانگر و... همه پتانسیل هایی دارند که فقط به فاصله بستگی دارد. این فصل برای یادگیری مساله اتم هیدروژن در اغاز مکانیک کوانتومی 2 بسیار حیاتی است. شیوه کاری ما در این فصل گاهی شبیه بحث نوسانگر و ظهور عملگر های باالبرنده و پایین اورنده می باشد. چون پتانسیل تابعی از فاصله است همانطور که در فیزیک 2 نیز مشاهده کردید مختصات کروی می تواند بسیار بهتر رفتار سیستم را توصیف کند. ازاینرو در سرتاسر فصل من مدام وارد دنیای کروی شده و مشتقات پاره ای را در این فضا توصیف می کنم. چون در این فصل خود پتانسیل مورد بحث قرار نمی گیرد ازاینرو مشتق شعاعی کاربردی ندارد. شما در فصل بعد در مکانیک کوانتومی 2 معادالت بدست امده در این فصل را با در نظر گرفتن قسمت شعاعی تکمیل می کنید. اصلی ترین هدف این فصل یافتن ویژه تابع هامیلتونی برای دو بعد θ و φ می باشد. انشاال قسمت شعاعی بماند برای مکانیک کوانتومی 2. هامیلتونی در سه بعد برابر می شود با: H = K + V = p x 2 + p 2 2 y + p z + V(x, y, z) 2m و این هامیلتونی با توجه به تعریف تکانه در کوانتوم بصورت زیر داده می شود: V(r) H = ħ2 2m ( 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z2) + V(x, y, z) همانطور که در مقدمه گفته شد پتانسیل ها در این قسمت شعاعی می باشند یعنی بصورت شوند که داده می r 2 = x 2 + y 2 + z 2 فاصله می باشد. پس هامیلتونی می شود: H = ħ2 2m ( 2 x 2 + 2 + 2 y 2 z 2) + V(r) -1 1

می خواهیم ببینیم ایا این هامیلتونی تحت چرخش ناوردا می باشد -< منظور از ناوردایی عدم تغییر شکل و مقدار هامیلتونی تحت چرخش می باشد. در گام نخست رفتار هامیلتونی را در چرخش محور مختصات مورد بررسی قرار می دهیم. فرض کنیم محور مختصات xyz را حول محور z به اندازه θ ساعتگرد بچرخانیم. مختصات جدید می شوند: x = xcosθ ysinθ y = xsinθ + ycosθ z = z حال بیاییم ببینیم معادله 1 ایا در این مختصات جدید تغییر شکل می یابد الف( ایا r با r متفاوت است r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = (xcosθ ysinθ) 2 + (xsinθ + ycosθ) 2 + z 2 = (xcosθ) 2 + (ysinθ) 2 2xysinθcosθ + (xsinθ) 2 + (ycosθ) 2 + 2xysinθcosθ + z 2 = x 2 (sin 2 θ + cos 2 θ) + y 2 (sin 2 θ + cos 2 θ) + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 = r 2 همانطور که از قبل می دانستیم فاصله تحت دوران ناوردا می باشد. در نتیجه داریم: V(r ) V(r) = ب( ایا انرژی جنبشی یا همان مشتق های مرتبه دوم تحت این تغییر مختصات تغییر می کنند برای مشتقات پاره ای با توجه به مختصات جدید داریم: x = (cosθ x sinθ y ) 2 x 2 = (cosθ x sinθ 2 y ) y = (sinθ x + cosθ y ) 2 y 2 = (sinθ x + cosθ 2 y ) z = z 2 z 2 = 2 z 2 2

بدین ترتیب داریم: 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 نتیجه: هامیلتونی تحت این چرخش ناوردا می باشد یعنی اصال تغییر نمی کند. سوال: حال که عملگر هامیلتونی تحت چرخش ناوردا است ایا می توان عملگری مرتبط به چرخش باشد و در این صورت هامیلتونی جابجا شود در کوانتوم پیدا کرد که فرض کنیم که زاویه چرخش کوچک است طوریکه می توان از تقریب های زیر استفاده کرد: cosθ 1 sinθ θ در این صورت x و y برابر می شوند با: x = x yθ y = xθ + y فرض کنیم هامیلتونی دارای یک ویژه حالت (z ψ E,x),y با ویژه مقدار E باد. یعنی: Hψ E (x, y, z) = Eψ E (x, y, z) -2 چون نشان دادیم هامیلتونی تحت این چرخش ناوردا می باشد پس باید معادله باال برای دستگاه پریم دار هم صادق باشد یعنی: Hψ E (x, y, z ) = Eψ E (x, y, z ) Hψ E (x yθ, xθ + y, z) = Eψ E (x yθ, xθ + y, z) -3 حال چون زاویه θ کوچک است می توان تابع موج معادله 3 را حول ان بسط داد. پس داریم: ψ E (x yθ, xθ + y, z) = ψ E (x, y, z) yθ x ψ E(x, y, z) + xθ y ψ E(x, y, z) -4 3

حال اگر معادله 4 را در معادله 3 قرار دهیم و از معادله 2 کم کنیم طبیعی است که عبارت معادله 2 حذف شده و فقط جمالت دارای مشتق پاره ای در دو سمت می مانند. یعنی: H (xθ y yθ x ) ψ E(x, y, z) = E (xθ y yθ x ) ψ E(x, y, z) -5 θ ħ i حال اگر دو طرف معادله باال را در ضرب کنیم و پرانتز هم ارز کالسیکی پیدا می کند. زیرا داریم: دو طرف معادله باال را حذف کنیم. عبارت داخل ħ i (x y y x ) = xp y yp x = یعنی مولفه z ام تکانه زاویه ای!!بدین ترتیب معادله 5 را می توان بصورت فشرده تر زیر بازنویسی کرد: H ψ E = Eψ E Hψ E = Hψ E -6 یعنی داریم: = ] z.[h, L ما در شروع چرخش حول محور z را در نظر گرفتیم. اگر بطور مشابه چرخش حول محور x یا y را در نظر بگیریم. روابط مشابهی خواهیم داشت. یعنی: [H, L x ] =, [H, L y ] = دقت کنید که در کوانتوم هم تکانه زاویه همان تعریف کالسیکی را دارد فقط بجای مکان و تکانه عملگر می نشیند یعنی: L = r p L x = yp z zp y = ħ i (y z z y ) L y = ħ i (zp x xp z ) = ħ i (z x x z ) = xp y yp x = ħ i (x y y x ) 4

می دانیم که هر عملگری با هامیلتونی جابجا شود ثابت حرکت است. ایا این که تکانه زاویه ای در اینجا ثابت حرکت است نتیجه جدید یا عجیبی است پاسخ منفی است. شما در فیزیک 1 دیده اید که برای نیروها یا بطور هم ارز پتانسیل های شعاعی یا مرکزگرا تکانه زاویه ای پایسته است. زیرا در فیزیک داشتیم: dl dt = τ, τ = r F, if F = Fr τ = نکته: تکانه زاویه ای عملگر هرمیتی می باشد. اگر هرمیتی نباشد که نمی تواند یک کمیت فیزیکی را در کوانتوم توصیف کند چون هامیلتونی با تک تک مولفه های تکانه زاویه ای جابجا می شود پس رابطه کلی زیر برقرار است. [H, L] = سوال: ایا بسبب جابجایی هامیلتونی و سه مولفه تکانه زاویه ای می توان داشت ویژه حالتهای مشترک بین انها برای پاسخ به این سوال باید ببینیم ایا مولفه های مختلف تکانه زاویه ای با هم جابجا میشوند بیاییم جابجایی مولفه های x و y را بررسی کنیم. [L x, L y ] = [yp z zp y, zp x xp z ] = [yp z, zp x ] [yp z, xp z ] [zp y, zp x ] + [zp y, xp z ] = y[p z, z]p x + x[z, p z ]p y = iħyp x + iħxp y = iħ{xp y yp x } بطور مشابه می توان روابط جابجایی زیر را نیز بدست اورد: = iħ [L y, ] = iħl x [, L x ] = iħl y 5

این روابط جابجایی نشان می دهد اندازه گیری همزمان دو مولفه تکانه زاویه ای با دقت بسیار غیر ممکن است. رابطه جابجایی باال بین مولفه های تکانه زاویه ای را می توان بصورت شکل زیر خالصه نویسی کرد: L L = iħl در فصل 6 نشان دادیم که عدم قطعیت یا همان خطا در اندازه گیری عبارت شامل ضرب دو عملگر از ( A) 2 ( B) 2 1 4 < [A, B] >2 رابطه زیر بدست می اید: پس خطا در اندازه گیری یا همان عدم قطعیت در اندازه گیری دو مولفه تکانه زاویه ای می شود: ( L x ) 2 ( L y ) 2 1 4 < [L x, L y ] > 2 = 1 4 < ħ > 2 L x L y ħ 2 < > این نتایج نشان می دهد نمی توان ویژه حالت همزمان برای سه مولفه تکانه زاویه ای ساخت. بیاییم این را بصورت ریاضی بررسی کنیم. فرض کنیم اصال ما یک مجموعه کامل ویژه حالت داریم ){< u }( که برای هر سه مولفه تکانه زاویه ای ویژه حالت هستند. پس داریم: L x u > = l 1 u > L y u > = l 2 u > L xl y u > = l 1 l 2 u > L y L x u > = l 1 l 2 u > = 1 iħ [L x, L y ] = 1 iħ [L xl y L y L x ] u > = 1 iħ [l 1l 2 l 2 l 1 ] u > = u > = u > از طرفی داریم: در نتیجه داریم: برای L y هم داریم: 6

l 2 u > = L y u > = 1 iħ [, L x ] u > = 1 iħ [L x u > L x u >] = 1 [ ] = iħ l 2 = برای L x هم داریم: l 1 u > = L x u > = 1 iħ [L y, ] u > = 1 iħ [L y u > L y u >] = 1 [ ] iħ = l 1 = L y نتیجه: مجموعه <u ویژه حالتهای مشترک سه عملگر تکانه زاویه ای L x و خواهند بود اگر و تنها اگر ویژه مقدار انها صفر باشد. طبیعی است این حالت جذابیتی نمی تواند داشته باشد. تا این جا کار متوجه شدیم که نمی توان برای هامیلتونی و سه مولفه تکانه زاویه ای بطور همزمان ویژه حالت مشترک تعریف کرد. سوال: ایا می توان عملگر دیگری پیدا کرد که با تکانه زاویه ای و هامیلتونی جابه جا شود پاسخ مثبت است. عملگر L 2 مربع تکانه کل با مولفه های تکانه زاویه ای جابجا می شود زیرا: L 2 = L x 2 + L y 2 + 2 L x و برای جابجایی L 2 و مثال داریم: [L x, L 2 ] = [L x, L x 2 + L y 2 + 2 ] = [L x, L x 2 ] + [L x, L y 2 ] + [L x, 2 ] = {L y [L x, L y ] + [L x, L y ] L y } + { [L x, ] + [L x, ] } iħ iħ iħl y iħħl y = iħl y + iħ L y iħ L y iħl y = [L y, L 2 ] = [, L 2 ] = با همین روند می توانیم نشان دهیم که: 7

پس می توانیم یک مجموعه از ویژه حاالت داشته باشیم که به طور همزمان ویژه حالت عملگر L 2 و یکی از مولفه های تکانه زاویه ای مثال باشد. پس داریم: L 2 f > = λ f > f > = μ f > ماموریت این لحظه ما شناخت ویژه مقادیر μ و λ و <f است. محاسبه ویژه مقادیر: بحث در اینجا روندی مشابه محاسبه کنیم: ویژه مقادیر نوسانگر هماهنگ دارد. دو عملگر زیر را تعریف می L = L x il y L + = L x + il y با توجه به اینکه مولفه های تکانه زاویه ای عملگر هرمیتی می باشند بدیعی است که دو عملگر تعریف شده همیوغ هم هستند یعنی : + ) L) L.برای + = این عملگرها روابطه جابجایی زیر صادق هسنمد: [L 2, L + ] = [L 2, L x + il y ] = [L 2, L x ] [L 2, L ] = [L 2, L x il y ] = [L 2, L x ] + i [L 2, L y ] i [L 2, L y ] = = [, L + ] = [, L x + il y ] = [L z, L x ] + i [L z, L y ] = ħ[l x + il y ] = ħl + iħl y iħl x [, L ] = [, L x il y ] = [L z, L x ] i [L z, L y ] iħl y iħl x = ħ[l x il y ] = ħl -7-8 -9-1 از طرفی داریم: L + L = (L x + il y )(L x il y ) = L x 2 + L y 2 L 2 2 + il y L x il x L y = L 2 L 2 z + i[l y,l x ]=ħ -11 ħ 8

L L + = (L x il y )(L x + il y ) = L x 2 + L y 2 L 2 2 il y L x + il x L y i[l y,l x ]= ħ = L 2 L 2 z ħ -12 با توجه به رابطه 7 داریم: L 2 L + f > = L + L 2 f > = λl + f > با همان ویژه مقدار λ می باشد. پس حالت > f L + هم ویژه حالت عملگر L 2 اگر این اتفاق حالت جدیدی تولید کند که پس یعنی تبهگنی ظاهر می شود اما اگر > f L + مضربی از > f باشد که پس حالت جدید نیست. با توجه به رابطه 8 هم داریم: L 2 L f > = L L 2 f > = λl f > با همان ویژه مقدار λ می باشد. پس حالت > f L هم ویژه حالت عملگر L 2 از رابطه 9 داریم: L + f > = L + f > +ħl + f > = μl + f > +ħl + f > = (μ + ħ)l + f > ħ z پس عملگر + L ویژه مقادیر تکانه زاویه ای در راستای را به اندازه می افزاید. از اینرو به این عملگر عملگر باالبرنده هم گفته می شود. از رابطه 1 هم داریم: L f > = L f > ħl f > = μl f > ħl f > = (μ ħ)l f > ħ پس عملگر L ویژه مقادیر عملگر را به اندازه می کاهد. ازاینرو به ان عملگر کاهنده گفته می شود. L نتیجه: برای یک λ ثابت دو عملگر + L و ویژه مقادیر عملگر را زیاد یا کم می کنند. انگار روی یک نردبان یکی پله پله بسمت باال ودیگری پله پله بسمت پایین حاالت را حرکت می دهد. شکل زیر شمایی از این نردبان را نشان می دهد. 9

سوال: ایا این نردبان می تواند هر ارتفاعی داشته باشد یا بعبارت دیگر عملگر باالبرنده می تواند تا هر مقدار دلخواهی ویژه مقدار عملگر را بیفزاید یا عملگر کاهنده کاهش دهد برای مقدار چشم داشتی عملگر L 2 داریم: < L 2 > = < L x 2 > +< L y 2 > +< L y 2 > براحتی داریم: 1

< L x 2 > =< f L x 2 f > =< L x f L x f > بطور مشابه داریم: L 2 < L y 2 > < 2 > < L2 > λ طبیعی است که مقدار چشم داشتی پس یک ویژه حالتی برای نمی تواند بیش از مقدار مربوط به تکانه زاویه ای کل یعنی باشد. وجود دارد که دیگر نمی توان ان را افزایش داد. یعنی ارتفاع نردبان محدود است و بستگی به λ دارد. این حالت را با > t f و ویژه مقدار ان را با lħ نشان می دهیم. یعنی داریم: L + f t > = در این حالت می توانیم ویژه مقدار عملگر تکانه کل را با استفاده از معادله 12 بصورت زیر بنویسیم: L 2 = L L + + L 2 z + ħ L 2 f t > = λ f t > = L L + f t > +L 2 z f t > +ħ f t > = ( + ħ 2 l 2 + ħ 2 l ) f t > λ = ħ 2 l(l + 1) L 2 بطور مشابه ته نردبان هم نمی تواند نامتناهی باشد زیرا در این صورت مربع فرض کنیم پایین ترین ویژه حالت ممکن در این صورت داریم: از بیشتر می شود. را > b f در نظر بگیریم که دارای ویژه مقدار l ħ می باشد. L f b > = λ پس با این رابطه باال و کمک معادله 1 هم می توانیم عبارتی برای بدست اوریم. داریم: L 2 = L + L + L 2 z ħ L 2 f b > = λ f b > = L + L f b > +L 2 z f b > ħ f b > = ( + ħ 2l 2 ħ 2 l ) f b > λ = ħ 2 l (l 1) با مساوی قرار دادن دو رابطه بدست امده یعنی: ħ 2 l(l + 1) = ħ 2 l (l 1) دو حالت ممکن است. 11

. این انتخاب منطقی نیست زیرا در این صورت ته نردبان l = l یا بعبارت دیگر + 1.l 1 = l -1 از سر نردبان باالتر است!! 2- انتخاب بهتر و درست این است که l. = l نتیجه: ویژه حالتهای عملگر که همان پله های نردبان هستند بصورت mħ داده می شوند. N نکته: سر نردبان را می توان با داشتن ته نردیبان یعنی l بدست اورید. چون از ته تا سر نردبان تا بخش داریم پس: l = l + N l = N/2 در نتیجه سر یا ته نردبان می تواند عدد صحیح یا نیم صحیح باشد یعنی,,1/2,1,3/2,2=l وقتی اسپین در نظر گرفته نشود مقدار l را عدد صحیح در نظر می گیریم. در این صورت ویژه مقادیر مختلف Lz هم عدد صحیح هستند که در محدوده l m l قرار می گیرند. یعنی برای ویژه مقادیر داریم: عملگر m = l, l + 1, l + 2,.,,1,2,, l l, l یعنی سر و ته نردبان نسبت به مرکز ان دارای یک ارتفاع می باشد. در این فصل ما فقط با l های کار داریم که عدد صحیح می باشند. شما در کوانتوم 2 مشاهده می کنید با اضافه شدن اسپین l ها نیم صحیح می شوند. بنابراین می توانیم معادله ویژه مقداری را برای تکانه کل و بصورت زیر بازنویسی کنیم: L 2 l, m > = ħ 2 l(l + 1) l, m > l, m > = mħ l, m > دقت کنید در رابطه باال من به جای > f از > m,l استفاده کردم تا بهتر نشان دهم این کت ویژه حالت همزمان دو عملگر می باشد. و L 2 12

نکته: مشاهده کردید که به ازای هر l می توانیم 1+2l ویژه مقدار برای تکانه زاویه ای داشته باشیم. مثال برای = l فقط حالت = m وجود دارد و یا برای = 1 l فقط حاالت 1,,1 = m قابل قبول هستند. نکته: همانطور که مشاهده کردید به ازای هر l عملگر L 2 با ویژه مقادیر متفاوت می باشند. دارای 1+2l ویژه حالت تبهگن می باشد که این حالت ویژه حالتهای عملگر 1+2l سوال: عملگرهای کاهنده و افزاینده چه بالیی سر l,m> می اورند برای عملگر افزاینده داشتیم: L + l, m > = ħ(m + 1)L + l, m > از طرفی داریم: l, m + 1 > = ħ(m + 1) l, m + 1 > با کنار هم قرار دادن این دو رابطه می توان گفت: L + l, m > = C + (l, m) l, m + 1 > برای برا هم داریم: < l, m L =< l, m + 1 C + (l, m) دقت کنید که در باال از رابطه + ) L) L + = استفاده کردم. با این فرض که ویژه کتها بهنجار هستند داریم: C + (l, m) 2 < l, m + 1 l, m + 1 > =< l, m L L + l, m > با کمک رابطه 12 داریم: < l, m L L + l, m > =< l, m L 2 L 2 z ħ l, m > = < l, m L 2 l, m > < l, m L 2 z l, m > ħ < l, m l, m > = ħ 2 l(l + 1) ħ 2 m 2 mħ 2 = ħ 2 (l(l + 1) m(m + 1)) 13

پس داریم: C + (l, m) 2 = ħ 2 (l(l + 1) m(m + 1)) C + (l, m) = ħ l(l + 1) m(m + 1) = ħ (l m)(l + m + 1) پس عبارت زیر را بدست اوردیم: L + l, m > = ħ (l m)(l + m + 1) l, m + 1 > برای عملگر کاهنده هم داریم: L l, m > = ħ(m 1)L l, m > از طرفی داریم: l, m 1 > = ħ(m 1) l, m 1 > با کنار هم قرار دادن این دو رابطه می توان گفت: L l, m > = C (l, m) l, m 1 > برای برا هم داریم: < l, m L + =< l, m 1 C (l, m) با این فرض که ویژه کتها بهنجار هستند داریم: C (l, m) 2 < l, m 1 l, m 1 > =< l, m L + L l, m > با کمک رابطه 11 داریم: < l, m L + L l, m > =< l, m L 2 L 2 z + ħ l, m > = < l, m L 2 > < l, m L 2 z l, m > +ħ < l, m l, m > = ħ 2 l(l + 1) ħ 2 m 2 + mħ 2 = ħ 2 (l(l + 1) m(m 1)) پس داریم: 14

C (l, m) 2 = ħ 2 (l(l + 1) m(m 1)) C (l, m) = ħ l(l + 1) m(m 1) = ħ (l + m)(l m + 1) پس عبارت زیر را بدست اوردیم: L l, m > = ħ (l + m)(l m + 1) l, m 1 > با بدست اوردن روابط مربوط به L + l, m > = ħ (l m)(l + m + 1) l, m + 1 > L l, m > = ħ (l + m)(l m + 1) l, m 1 > می توانیم به راحتی روابطی برای > m L x l, و > m L y l, بدست اوریم. قبال دیدیم که: L + = L x + il y L = L x il y L x = 1 2 (L + + L ) L y = 1 2i (L + L ) بدین ترتیب داریم: L x l, m > = 1 2 (L + l, m > +L l, m >) = ħ ( (l m)(l + m + 1) l, m + 1 > + (l + m)(l m + 1) l, m 2 1 >) L y l, m > = 1 2i (L + l, m > L l, m >) = ħ ( (l m)(l + m + 1) l, m + 1 > (l + m)(l m + 1) l, m 2 1 >) 15

شکل باال بطور شمایی تعبیر تکانه زاویه کل L 2 و عملگر را برای = 2 l نشان می دهد. کره ای به شعاع 1) + (2 2 r = ħ 2 معرف L 2 می باشد که دارای پنج ویژه حالت متفاوت برای مقادیر 1,,1,2,2 = m می باشد که دارای ارتفاع های متفاوتی هستند. مقادیر نامشخص هستند زیرا انها با دایره L x و L y خواهد بود. با ویژه کامال جابجا نمی شوند. مقادیر این دو عملگر هر مقدار ممکن روی هر محیط تا اینجا ویژه مقادیر تکانه زاویه ای در راستای z ویژه حالتهای انها را نیز بدست اوریم. و تکانه زاویه ای کل را بدست اوردیم. حال می خواهیم نمایش > m,l در فضای مکان: دیدیم که پتانسیل ها در این فصل بصورت شعاعی یعنی V(r) می باشند. بهترین مختصات برای کار کردن در این فضا مختصات کروی می باشد. پس از این مختصات برای نمایش استفاده می کنیم. می خواهیم معادالت مربوط به تکانه زاویه ای را در این فضا بدست اوریم. 16

تکانه در سه بعد بصورت زیر تعریف می شود: P = ħ i بدین ترتیب تکانه زاویه می شود: L = r p = ħ i r در مختصات کروی حتما دیده اید که گرادیان بصورت زیر تعریف می شود: = r r + θ 1 r θ + φ 1 rsinθ φ L = ħ i rr (r r + θ 1 r θ + φ 1 rsinθ φ ) = ħ i {r r بدین ترتیب تکانه زاویه ای در مختصات کروی می شود: (r r ) + θ (r θ ) + 1 (r φ )} sinθ φ r r =, r θ = φ, r φ = θ با توجه به عبارات زیر تکانه زاویه ای می شود: L = ħ i (φ θ θ 1 sinθ φ ) بردارهای یکه در مختصات کروی مطابق رابطه زیر به مختصات دکارتی منتقل می شوند: θ = cosθcosφi + cosθsinφj sinθk φ = sinφi + cosφj با جایگذاری در تکانه زاویه ای می توان ان رابه مختصات دکارتی برگرداند: 17

L = ħ i {( sinφi + cosφj ) θ 1 (cosθcosφi + cosθsinφj + sinθk ) sinθ φ } بدین ترتیب تک تک مولفه های تکانه زاویه ای می شود: L x = ħ i L y = ħ i (sinφ θ + cosθcosφ 1 sinθ (cosφ θ cosθsinφ 1 sinθ = ħ i φ ) = ħ i φ ) = ħ i φ (sinφ + cotθcosφ θ φ ) (cosφ cotθsinφ θ φ ) می توانیم با این روابط عملگر کاهنده و افزاینده را نیز تعریف کنیم. داریم: L + = L x + il y = ħ i {( sinφ + icosφ) cotθ(cosφ + isinφ) θ φ } = ħ {(cosφ + isinφ) e iφ θ = ħe iφ ( + icotθ θ φ ) + icotθ (cosφ + isinφ) e iφ φ } L = L x il y = ħ i {( sinφ icosφ) cotθ(cosφ isinφ) θ φ } = ħ { (cosφ isinφ) e iφ θ = ħe iφ ( icotθ θ φ ) + icotθ (cosφ isinφ) e iφ φ } برای بدست اوردن رابطه ای برا ی تکانه زاویه ای کل از رابطه زیر استفاده می کنیم: L 2 = L + L + 2 ħ ** L L + را بدست اوریم. داریم: 2 پس باید معادالت مربوط به و 18

2 = ( ħ i φ )2 = ħ 2 2 φ 2 L + L = ħe iφ ( + icotθ θ φ ) ( ħe iφ ( icotθ θ φ )) = ħ 2 e iφ ( + icotθ θ φ ) (e iφ ( icotθ θ φ )) = ħ 2 e iφ { e iφ 2 θ 2 ie iφ θ (cotθ φ ) 1 sin 2 θφ + icotθ φ (e iφ ie iφ θ θ ) + cotθ φ (e iφ cotθ φ ) ie iφ cotθ φ +e iφ cotθ 2 φ 2 } = ħ 2 { 2 θ 2 i 1 sin 2 θ = ħ 2 { 2 θ 2 + i ( 1 sin 2 θ cot2 θ) φ + cotθ φ θ icot2 θ φ + cot2 θ 2 φ 2} 1 + cotθ θ + cot2 θ 2 φ 2} L + L = ħ 2 ( 2 + i + cotθ θ2 φ θ + cot2 θ 2 φ 2) در نتیجه داریم: بدین ترتیب معادله حاکم بر تکانه زاویه ای کل )رابطه **( با کمک معادالت باال می شود: 19

L 2 = ħ 2 ( 2 + i + cotθ θ2 φ θ + cot2 θ 2 φ 2 + 2 φ 2 1 2 sin 2 θφ 2 = ħ 2 ( 2 + cotθ θ2 θ + 1 2 sin 2 θ φ 2) i L 2 φ ħ ) تا این لحظه توانستیم تا دو عملگر L 2 و را بصورت عملگری در فضای کروی نمایش دهیم. با توجه به شکل این دو عملگر مشخص است که پاسخ یا همان ویژه تابع فقط دارای مولفه های θ و φ می باشد. من انرا با (φ Y(θ, نشان می دهم. دقت کنید که در واقع داریم Y(θ, φ) =< θ, φ l, m > نکته: این دقیقا مشابه نمایش ویزه کتهای نوسانگر در فضای مکان است. انجا من برای نمایش حالت پایه نوسانگر در فضای مکان عبارت > x ψ (x) >= را تعریف کردم. اینجا همانند ان تابع (φ Y(θ, را نه در فضای x بلکه در فضای کروی تعریف نموده ام. mħ و برای عملگر L 2 l(l + 1)ħ 2 در بخش قبل ویژه مقادیر این دو عملگر را برابر با برای عملگر بدست اوردیم. بدین ترتیب دو معادله ویژه مقداری زیر را داریم: ħ i φ Y(θ, φ) = mħy(θ, φ) ħ 2 ( 2 + cotθ θ2 θ + 1 2 sin 2 θ φ 2) Y(θ, φ) = l(l + 1)ħ2 Y(θ, φ) معادله مربوط به L 2 را می شود بصورت زیر مرتب نمود: (sin 2 θ 2 + sinθcosθ θ2 θ + 2 φ 2) Y(θ, φ) = l(l + 1)sin2 θy(θ, φ) که به معادله زیر تبدیل می شود: 2

sinθ 2 sinθ Y(θ, φ) + θ φ 2 Y(θ, φ) = l(l + 1)sin2 θy(θ, φ) مطمینا شما با این فرم از معادله در درس معادالت دیفرانیسل و همچنین الکترومغناطیس اشنا شده اید و می دانید ته ان به هماهنگ های کروی می رسد و معادله موسوم به لژاندر. می توان (φ Y(θ, را به دو قسمت مجزا تجزیه کرد. یعنی: Y(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) و با جایگذاری در معادله باال خواهیم داشت: Φ(φ)sinθ 2 sinθ Θ(θ) + Θ(θ) θ φ 2 Φ(φ) = l(l + 1)sin2 θθ(θ)φ(φ) که با تقسیم طرفین تساوی بر Θ(θ)Φ(φ) مرتب سازی تساوی داریم: 1 Θ(θ) [sinθ d d sinθ d dθ Θ(θ)] + l(l + 1)sin2 θ = 1 Φ(φ) dφ 2 Φ(φ) d 2 حاال شبیه بحث فصل چهار شد. یک معادله دیفرانسیل که سمت چپ ان فقط متغیر راست ان فقط متغیر φ. الزمه این تساوی این است که دو طرف تساوی با یک عدد ثابت مثال باشند. یعنی داریم: θ وجود دارد و سمت m 2 1 Φ(φ) dφ 2 Φ(φ) = m2 d2 dφ 2 Φ(φ) = m2 Φ(φ) 1 Θ(θ) [sinθ d d sinθ d dθ Θ(θ)] + l(l + 1)sin2 θ = m 2 d 2 برابر نکته: معادله اول همان معادله دیفرانسیلی حاکم بر می باشد اما طرفین به توان 2 رسیده اند. معادله اول که جواب سر راستی بصورت e ±imφ دارد. با فرض اینکه m می تواند هم مثبت و هم منفی باشد پس فقط پاسخ e imφ کافیست. یک نکته وجود دارد و ان این است که انتظار داریم بعد از چرخش به اندازه φ + 2π به نقطه اول یعنی φ باز گردیم. پس داریم: e imφ = e im(φ+2π) e i2πm = 1 m =, ±1, ±2,. 21

یعنی m باید اعداد صحیح باشد. حتما متوجه شده اید که m همان ضریب ویژه مقادیر عملگر می باشد. e imφ 2π تابع موج بهنجار شده Φ(φ) باید بصورت داده می شود زیرا: 2π dφ eimφ e im φ 2π 2π = δ m,m معادله مربوط به θ بصورت زیر است: sinθ d d sinθ d dθ Θ(θ) + l(l + 1)sin2 θθ(θ) m 2 Θ(θ) = این معادله لژاندر است که شما در الکترومغناطیس و معادالت دیفرانسیل دیده اید. پاسخ معادله باال بصورت زیر داده می شود: Θ lm (θ) = c lm p m l (cosθ) که (x) p m l تابع لژاندر وابسته می باشد و معادله ان بصورت زیر می باشد: p m l (x) = (1 x 2 ) m 2 d m dx m P l(x) که (x) p l چند جمله ای لژاندر است و توسط فرمول رودریگز بصورت زیر داده می شود: d l P l (x) = 1 2 l l! dx l (x2 1) l p (x) = 1 p 1 (x) = 1 d 2 dx (x2 1) = x p 2 (x) = 1 d 2 2 2 2! dx 2 (x2 1) 2 = 3x2 1 2 به عنوان مثال چند جمله اول می شود: 22

چند جمله ای های لژاندر در رابطه تمامیت زیر صدق می کنند: 1 (2l + 1)p 2 l= l(x)p l (x ) = δ(x x ) عالوه براین مشخص است که رابطه زیر را داریم: p l ( x) = ( 1) l p l (x) با محاسبه چند جمله ای لژاندر می توان توابع توابع لژاندر وابسته را محاسبه کرد. به عنوان مثال داریم: p 1 1 = (1 x 2 ) 1/2 d dx x = (1 x2 ) 1/2 p 1 2 = (1 x 2 ) 1/2 d 3x 2 1 = 3(1 x 2 ) 1/2 x dx 2 p 2 2 = (1 x 2 ) d2 3x 2 1 dx 2 = 3(1 x 2 ) 2 نکته: برای مساله ما که شامل (cosθ) p m l می باشد یعنی x cosθ چند جمله اول بصورت زیر داده می شود: تا این لحظه با کنار هم قرار دادن Φ(φ) و Θ(θ) داریم: Y(θ, φ) = c lm e imφ 2π p l m (cosθ) ** 23

چون حالتهای مختلف تکانه زاویه ای برهم عمود هستند یعنی: < l, m l, m > = δ l,l δ m,m 2π π با استفاده از رابطه تمامیت برای مختصات کروی یعنی: dφ dθ θ, φ >< θ, φ = 1 1 =< l, m l, m > 2π 2π π = dφ dθsinθ < l, m θ, φ >< θ, φ l, m > 2π π = dφ dθsinθy lm (θ, φ)y lm (θ, φ) π داریم: با جایگذاری از رابطه ** در معادله باال داریم: 1 = dφ dθsinθ c lm 2 eimφ e imφ p m 2π l (cosθ) 2 π = c lm 2 dθsinθ p m l (cosθ) 2 برای توابع الگر وابسته رابطه بهنجارش زیر صادق است: π dθsinθp m l (cosθ)p m l (cosθ) = 2 (l + m)! 2l + 1 (l m)! δ l,l بدین ترتیب ضریب بهنجارش c lm برابر است با: c lm = ( 1) m 2l + 1 (l m)! 2 (l + m)!, m 24

حال می توانیم دیگر تابع موج عملگر تکانه را در فضای کروی بنویسیم. پس داریم: Y lm (θ, φ) = ( 1) m 2l + 1 (l m)! 4π (l + m)! eimφ p m l (cosθ), m اینها همان هماهنگ های کروی هستند که در قسمتهای دیگر فیزیک هم مشاهده می کنید. پس ویژه حالتهای عملگر تکانه زاویه ای و هماهنگ های کروی می باشند. چون در ابتدا فصل نان دادیم که هامیلتونی با این دو عملگر جابجا می شود پس ویژه حالتهای هامیلتونی هم در قسمت مربوط به θ و φ همین توابع هماهنگ کروی می باشند. در پایین چند مرتبه اول هماهنگهای کروی را نشان داده ام. 25

شکل باال تابع Y, را در مختصات دکارتی نشان می دهد. شکل )a( بزرگی شکل )b( قسمت حقیقی و شکل )c( قسمت موهومی تابع Y 11 نشان می دهد. را در مختصات دکارتی 26

شکل )a( بزرگی شکل )b( قسمت حقیقی و شکل )c( قسمت موهومی تابع Y 2,1 را نشان می دهد. با توجه به شکلهای باال می توان توابع هارمونیک کروی را به ازای هر θ نسبت به محور z بصورت زیر کشید. اینها همان اوربیتالهای اتمی p S و d هستند که شما در شیمی مشاهده کرده اید. حال یاد گرفتید این تصاویر چگونه با کمک معادله شرودینگر و مفهوم تکانه زاویه ای خلق می شوند. اطالعات این فصل بسیار برای مطالعه ساختار اتمها مفید و حیاتی است. 27